Ecuaciones Diferenciales

Clasificaciones

Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales según su:

Tipo

Ecuación Diferencial Ordinaria: Una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes respecto a una variable independiente.

y’’ – 4y’ = (y’’)²

Ecuación Diferencial Parcial: Una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes con respecto de 2 o más variables independientes.

ds/dy = t²(cosy) + d³y/dt³

Orden

El orden de una ecuación diferencial es la derivada más alta contenida en la ecuación.

(dy/dx)³ = cos(3x) + (d²y/dx²)  à  En este caso es de segundo orden.

Grado

El grado de una ecuación diferencial ordinaria es el exponente a la que se encuentra elevada la máxima derivada.

Linealidad

Una Ecuación Diferencial Ordinaria es lineal si cumple las siguientes características:

1.- La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.

2.- Los coeficientes a₀, a₁,…, a_n dependen solo de la variable independiente o pueden ser constantes.

3.-Es lineal si tiene la forma de la siguiente ecuación:

a_n (x) [dⁿy/dxⁿ] + a_n-1 (x) (d^n-1y/dx^n-1) + … + a₁ (x) (dy/dx) + a₀ (x) (y) = g(x)

Algoritmo para identificar la linealidad:

1.- Identificar las variables dependientes e independientes.

2.- Señalar con un color determinado a la variable dependiente y sus derivadas en cada término.

3.- Verificar que lo señalado tenga grado 1.

4.- Lo que no está señalado debe depender exclusivamente de la variable independiente.

(d²u/dv²) = 3p / sen(v²) à p = constante

(d²u/dv²) = [ u⁰ ] [ 3p / sen(v²) ]

Resolver una Ecuación Diferencial

Resolver una Ecuación Diferencial es encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjunto solución. Siempre que sea posible, al resolver una ecuación diferencial hay que especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución.

Se debe especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución.

En el estudio de ecuaciones diferencial es normal entender “y’=dy/dx” como el cociente de diferenciales. De esta forma por ejemplo si la ecuación diferencial es:

dy/dx = M(x,y)/N(x,y)

Esta puede ser escrita como:

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

A esta expresión la denominaremos como su forma diferencial.

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Ejemplo

Demostrar que “[x³/3] + x + [y²/2] – 2y = C” define implícitamente la solución general de la ecuación diferencial:

(x² + 1) dx + (y – 2) dy = 0

A fin de no recurrir al concepto de derivada procedemos directamente por diferenciales. Debemos recordar que la diferencial de una función y = f(x) se define mediante:

y' = f(x) dx

De lo cual se desprende que las reglas de derivación son idénticas para diferenciales cambiando únicamente la palabra derivada por diferencial. Así, tenemos:

d (xy) = (x) dy + (y) dx

Para este ejemplo calculamos la diferencial de ambos miembros de la solución general. Hallamos:

d ([x³/3] + x + [y²/2] – 2y) = d (C)  à  (3) [x²/3] dx + 1 dx + (2) [y/2] dy – 2 dy = 0

x² dx + dx + y dy – 2 dy = 0 à (x² + 1) dx + (y – 2) dy = 0

Tipos de Soluciones

1.- Solución Particular: es la que representa una solución específica de la ecuación diferencial.

2.- Solución General: es la que representa a una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial. Esta representación incluye una o varias constantes arbitrarias.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Recordemos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una relación entre y’, “y” y “x” (la variable independiente) de la forma:

F(y’,y,x) = 0 à Donde F es una función de 3 variables.

Y’= f(x,y) à Se dice que esta es la forma normal.

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Una ecuación diferencial y’= dy/dx = f(x,y) es de variables separables si podemos describirla en la forma:

g(y) dy = h(x) dx

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad:

ꭍ g(y) dy = ꭍ h(x) dx

α(y) + c₁ = β(x) + c₂

α(y) - β(x) = c₂ – c₁

φ(x,y) = C à Que es una solución general de la Ecuación Diferencial.

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma:

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = g(x)  à Donde a₀≠0

Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es de la forma

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = 0  à Donde a₀≠0

Nótese la diferencia entre las ecuaciones.

Resolución de una ecuación diferencial lineal homogénea

Método:

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = 0

Es separable de modo que:

[dy/dx] = - [a₁ (x) / a₀ (x)] (y)

[dy/y] = - [a₁ (x) / a₀ (x)] (dx)

[dy/y] = - p(x) dx à p(x) = [a₁ (x) / a₀ (x)]

Integrando se obtiene que:

Ln(y) = -ꭍ p(x)dx + C

y = e^{-ꭍp(x) dx + c}

y = e^{-ꭍp(x) dx} (e^c) à e^c  es una constante más

y = Ce^{-ꭍp(x) dx} àFórmula

Entonces acomodando la ecuación de la forma:

[dy/y] = - p(x) dx

Resolvemos con la fórmula:

y = Ce^{-ꭍp(x) dx}

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Para identificar estas ecuaciones tenemos que verificar que la suma de exponentes de cada término sea igual.

Por ejemplo:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

Observamos que todos los términos tienen grado 3.

Directamente podemos decir que es una ecuación homogénea pero tenemos otros 3 métodos para asegurarnos:

Si podemos factorizar t³ cuando agregamos la variable t en la función de la siguiente forma:

F(tx,ty) = 2 (tx)² [ty] – (tx) [ty]² + 4 [ty]³

[t³] F(x,y) = t³ [2x2y – xy² + 4y³]

Si podemos factorizar x³ de la siguiente forma:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

[x³] F(1,y/x) = x³ [2(y/x) – (y/x)² + 4 (y/x)³]

Si podemos factorizar y³ de la siguiente forma:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

[y³] F(x,y) =  y³ [2(x/y)² – (x/y) + 4]

Resolución de una ecuación diferencial no homogénea de primer orden

Partiendo de la forma inicial

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = g(x)  à a₀ (x) ≠ 0

Dividiendo entre a₀ (x) :

[dy/dx] + ( a₁ (x) [y] ) / [a₀ (x)] = [g(x)/ a₀ (x)]

Tomando en cuenta que à p(x) = [a₁ (x)] / [a₀ (x)] à f(x) = [g(x)/ a₀ (x)]

Entonces:

[dy/dx] + p(x) y = f(x)

Se calcula un factor integrante:

ɱ(x) = e^ꭍp(x)dx

Veamos como datos extras que:

ɱ’(x) = p(x) [e^ꭍp(x)dx]

ɱ’(x) = p(x) [ɱ(x)]

                                                                                          ɱ’ = p ɱ

y que:

ɱy = my

d/dx [ɱy] = ɱ [dy/dx] + y [dɱ/dx]

Sustituyendo ɱ’ = p ɱ

(ɱy)’ = ɱ [dy/dx] + y (p ɱ)

Factorizando ɱ

(ɱy)’ = ɱ (y’ + py)

Se multiplica por la función del factor integrante:

ɱ ( y’ + p (y) ) = ɱ (f) à Para acortar recordemos que f = f(x), p = p(x)

Considerando que (ɱy)’ = ɱ (y’ + py) se tiene que:

(ɱy)’ = ɱf

Integrando se obtiene:

ɱy + C = ꭍ ɱ f (dx) + C

Despejando “y”:

y = (1/ɱ) [ ꭍɱ f (dx) ] + [C/ɱ]

Sustituyendo à ɱ(x) = e^ꭍp(x)dx

Y = e^-ꭍp(x)dxꭍ e^ꭍp(x)dx f(x) dx + Ce^-ꭍp(x)dxàFórmula

Siendo esta una fórmula para resolver directamente la ecuación de la forma:

[dy/dx] + p(x) y = f(x)

Resolución de una ecuación diferencial homogénea

Método 1:

Partiendo de la forma inicial de una ecuación homogénea tenemos:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0:

Esta ecuación la podemos presentar de la siguiente forma:

[dy/dx] = - [M(x,y)/ N(x,y)]

Ahora podemos factorizar la variable “xⁿ”:

[dy/dx] = - [ (xⁿ) M(1,y/x) / (xⁿ) N(1,y/x)]

A continuación hacemos un cambio de variable

Cambio de variable à u = y/x à y = u (x) entonces y’ = u + x u’ de forma que dy/dx = u + x [du/dx]

u + x [du/dx] = - [M(1,u) / N(1,u)]

Despejando:

x[du/dx] = k(u) à Donde k es un factor sin la variable “u” dependiendo solo de “x” o constantes.

Entonces:

(1/ k [u] ) [du] = (1/x) [dx]

Una vez tengamos la integral de esta ecuación sustituimos “u = y/x” y se obtiene la solución general de la ecuación homogénea original “M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0” considerando a x como variable independiente.

Método 2:

Partiendo de la forma inicial de una ecuación homogénea tenemos:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Esta ecuación la podemos presentar de la siguiente forma:

[dx/dy] = - [N(x,y)/ M(x,y)]

Ahora podemos factorizar la variable “yⁿ”:

[dy/dx] = - [ (yⁿ) N(x/y,1) / (yⁿ) M(x/y,1)]

A continuación hacemos un cambio de variable

Cambio de variable à u = x/y à x = u y entonces x’ = u + y u’ de forma que dx/dy = u + y [du/dy]

u + y [du/dy] = - [M(u,1) / N(u,1)]

Despejando:

y[du/dy] = h(u) à Donde h es un factor sin la variable “u” dependiendo solo de “y” o constantes.

Entonces:

(1/ h [u] ) [du] = (1/x) [dx]

Una vez tengamos la integral de esta ecuación sustituimos “u = x/y” y se obtiene la solución general de la ecuación homogénea original “M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0” considerando a y como variable independiente.

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Es una ecuación de la forma:

a₀ (x) y’ + a₁ (x) y = f(x) yⁿ à n≠0,1

Ya que si “n” es igual a 0 o 1 tenemos una ecuación diferencial lineal.

Utilizando solo un cambio de variable en la fórmula para resolver una ecuación no homogénea

Y = e^-ꭍp(x)dxꭍ e^ꭍp(x)dx f(x) dx + Ce^-ꭍp(x)dx

Obtenemos:

y^1-n= (1-n) e^{-(1-n) ꭍ p(x)dx}ꭍe^{(1-n) ꭍ p(x)dx}f(x)dx + Ce^{-(1-n) ꭍ p(x)dx}

Esta es la fórmula para resolver Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli de la forma:

y’ + p(x) y = f(x) yⁿ à Siendo p(x) = a₁ (x) / a₀ (x), f(x) = función de variable independiente “x”

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Partiendo de la forma estándar de una ecuación Exacta:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Obtenemos las derivadas parciales de los términos y comparamos, si son iguales es una ecuación exacta.

M_y = N_x

En caso de serlo podemos resolver de 2 formas:

1.- Integrando ambos términos, tomando en cuenta estas consideraciones:

a) Del primer término tomamos todo.

b) Del segundo término solo lo que dependa de “y”.

2.- Integrando ambos términos, tomando en cuenta estas consideraciones:

a) Del segundo término tomamos todo.

b) Del primer término solo lo que dependa de “x”.

En caso de no ser exacta calculamos su factor integrante de siguiente forma:

1.- Si “M(x,y)” tiene menos términos que “N(x,y)" usamos:

e^{ꭍ [ (Nx-My)/M ]dy}

2.- Si “N(x,y)” tiene menos términos que “M(x,y)" usamos:

e^{ꭍ [ (My-Nx)/N ]dx}

Una vez obtenido el factor integrante, éste multiplica toda la ecuación y se vuelve exacta.