Aplicaciones de la Derivada
Ángulo entre 2 curvas
Sea P(x0,y0) el punto de intersección
entre las curvas f(x) y g(x), entonces el ángulo θ entre las curvas se obtiene
con:
tan θ = [f’(x0) - g’(x0)] / [1 + f’(x0)
g’(x0)]
Donde f’(x0) es la pendiente de la recta L2
y g’(x0) es la pendiente de la recta L1.
Curvatura
Radio de curvatura
En geometría plana la
longitud de un segmento circular está dada por la fórmula: s=r(θ) à r= s/θ
En la figura se observa que “s” cambia cuando θ cambia.
En una curva cualquiera, al tomar un segmento muy pequeño
formado por dos puntos de la curva y al relacionar la fórmula anterior se tiene
que:
De la fórmula anterior se define:
∆r = ∆s / ∆θ
Luego, si la longitud ∆s es cada vez más pequeña, es decir,
tiende a 0, el radio de curvatura se define con el siguiente límite:
r = lím∆sà0 [∆s / ∆θ] =
ds/dθ à r
= ds/dθ
En esta figura se tienen dos puntos, P y Q, de la curva, muy
próximos entre sí, en cada punto se traza una recta tangente y su normal. Al
punto de intersección entre las normales se llama Centro de Curvatura y a la
distancia del centro a cualquiera de los puntos P y Q se llama radio de
curvatura.
La expresión “1/r = dθ / ds” recibe el nombre de curvatura.
Para determinar la fórmula que permita calcular el radio de
curvatura se tiene la siguiente figura.
En la función f(x) se tienen los puntos P y Q infinitamente
muy próximos, de manera que la longitud del segmento circular ds sea igual a la
longitud del segmento PQ; entonces, de la representación geométrica de la
derivada se obtiene que:
dy/dx = tanθ à θ = arc tan (dy/dx)
Del triángulo PQR y el teorema de Pitágoras se obtiene:
ds = [(dx)2+(dy)2]1/2
= ( [1+ (dy/dx)2] (dx)2 )1/2 = ( [1+ (dy/dx)2]
)1/2 dx
Luego:
ds = r (dθ) à r = ds / dθ
r = ds / dθ = ( [1+
(dy/dx)2] )1/2 dx / d[arc tan (dy/dx)] = [1 + (dy/dx)2]
[1+ (dy/dx)2]1/2 / (d2y/dx2)
Solo derivamos el denominador porque tenemos “θ” y no “dθ”
porque el diferencial indica que es una derivada, el numerador ya es
directamente el diferencial de “s”.
Finalmente, la fórmula para determinar el radio de curvatura
es:
r = [{1+ (y’)2}3]1/2
/ (y’’)
ó
r = [{1+ (dy/dx)2}3]1/2
/ (d2y/dx2)
Círculo de Curvatura
Es una curva dada en
un punto de tangencia a la circunferencia, que tiene de centro el centro de la
curvatura y de radio de curvatura y que pasa por un punto de tangencia, también
se le conoce como circunferencia osculatriz o círculo osculador.
Centro de Curvatura
Para determinar la fórmula que permita calcular el cetntro
de curvatura se tiene la siguiente figura.
Donde:
C(a,b) = Centro de Curvatura
Q(x,y) = Punto de la Curva
r = Radio de Curvatura
Se obtiene la ecuación de la recta normal de la recta
tangente en el punto Q.
b - y = - (1/y) (a-x)
Se obtiene la ecuación de la circunferencia de centro en el
punto C(a,b), radio “r” y que pasa por el punto Q(x,y).
(x - a)2 +
(y - b)2 = r2
Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las
coordenadas del centro de curvatura.
a = x – [ (dy/dx) (1 +
{dy/dx}2) / (d2y/dx2) ], b = y + [
(1 + {dy/dx}2) / (d2y/dx2) ]
ó
ó
a = x – [ (y’) (1 + {y’}2)
/ (y’’) ], b = y + [ (1 + {y’}2) / (y’’) ]
Radio de Curvatura en coordenadas paramétricas
Dadas las ecuaciones de una curva en coordenadas
paramétricas
x = f(t), y = g(t)
El parámetro es cuando a la ecuación se le agrega valga la redundancia
un parámetro “t” que puede representar tiempo normalmente en física.
Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de
curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:
r = [{(dx/dt)2
+ (dy/dt)2}1/2]3 / [(dx/dt)(d2y/dt2)
– (dy/dt)(d2x/dt2)]
ó
r = [{(x’)2
+ (y’)2}1/2]3 / [(x’)(y’’) – (y’)(x’’)]
Radio de Curvatura en Coordenadas Polares
Dada la curva con la ecuación de la forma:
ρ = f(θ)
Se tiene que:
x= ρcosθ, y = ρsenθ
Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de
curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:
r = [{ρ + (dρ/dθ)2}1/2]3/[ρ2
+ 2(dρ/dθ)2 – ρ(d2ρ/dθ2)]
ó
r = [{ρ + (ρ’)2}1/2]3/[ρ2
+ 2(ρ’)2 – ρ(ρ’’)]
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