La Derivada

Historia

En un periodo de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y astronomía.

Mientras Newton estaba en casa (debido a una peste que cerró la universidad de Cambridge) estableció las bases del cálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación.

Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.

Definición

Sea f(x) una función, se define a su derivada f’(x), como:

f'(x) = Lím_∆xà0 [ f(x+∆x) - f(x) ] / [∆x]

La derivada de una función también puede expresarse y leerse como:

y’ = Derivada de “y”

f’(x) = Derivada de una función de variable “x”

dy/dx = Derivada de “y” con respecto de “x” ó diferencial de “y” entre diferencial de “x”.

D_xy = Derivada parcial de “y” con respecto de “x”

Interpretación geométrica

El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto donde:

∆x = incremento de “x”

∆y = incremento de “y”

L = Derivada o Pendiente de la función

Mientras que el ∆x o ∆y se aproxime a 0, significa que la pendiente también se aproxima a 0. Por eso se dice que la pendiente tiene un límite cuando ∆x tiende a 0, si está de variable independiente “x”, o también tiene un límite cuando ∆y tiende a 0, si la variable independiente es “y”.

La derivada es la pendiente que está dada por el ángulo formado de este triángulo rectángulo, Veamos porqué:

Para encontrar el ángulo en un triángulo rectángulo, conociendo el cateto opuesto y el adyacente, se utiliza la fórmula:

Tan (ángulo) = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente

Por eso se dice que la derivada es la pendiente de una recta tangente a la función.

El cateto opuesto y el cateto adyacente de la función están dados por los incrementos de “x” y de “y”.

En matemáticas cuando queremos representar un cambio en una variable, lo presentamos como el “diferencial”, por eso podemos decir que:

∆y/∆x = dy/dx = Lím_∆xà0 [ f(x+∆x) - f(x) ] / [∆x]