Regla de la Cadena

Historia

Hopital escribió el primer libro de cálculo en 1696, en el cual eran obvias las influencias de sus profesores Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz.

Hopital sirvió como oficial de caballería, pero tuvo que retirarse a causa de ser corto de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención a las matemáticas. Hopital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691.

Hopital era un excelente matemático, en 1692 su fama está basada en su libro Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.

En este libro publicó la regla de la cadena que ahora se conoce como la regla de Hopital, para encontrar el límite de una función racional cuyo denominador y numerador tienden a 0.

Definición

Sea y = g(u), u = f(x), entonces la derivada de y = [f g] (x) = g[ f(x) ], se define:

dy/dx = d (g f )[x] / dx = d g( f[x] ) / dx = [dy/du] (du/dx)

Se define así debido a que la derivada de f(x), tiene como variable independiente “x” y a la función que contiene esta variable independiente la llamamos “u”, de forma que la representamos como:

du/dx = La derivada de “u” con respecto de “x”. à Normalmente llamamos “f(x) = y” en lugar de “u”, pero en este caso la variable “y” la utilizaremos para nombrar a g(u).

Como dato adicional decimos que g(f[x]) se puede escribir como g(u) y este es igual a “y”, de forma que su derivada la representamos como:

dy/du = La derivada de “y” con respecto de “u”, ya que la variable independiente es “u”.

De esta manera obtenemos que:

[dy/du] (du/dx) = dy/dx

Cuando hay más de dos funciones se definirá así:

dy/dx = (dy/du) (du/dv) (dv/dx)

Solo tenemos que dar un nombre a cada función y derivarla con respecto a su variable independiente, una vez hecho esto, las multiplicamos.

y=u³

u= (v-1/v+1)

v= x+2

De forma que derivamos cada una de las funciones.

dy/du = 3u²

du/dv = 2/(v+1)²

dv/dx = 1

Entonces sabemos que la solución de “(d/dx)[y*u*v]” si y=u³, u= (v-1/v+1) y v= x+2, es:

6u²/(v+1)²

^{Practicamente en la regla de la cadena podemos sustituir todas las variables en una función y derivarla, así que en pocas palabras la regla de la cadena sería algo así como esta imagen.}

Les recordamos que el formulario de matemáticas se puede descargar desde aquí.