Aplicaciones de la Derivada Parte 1

Aplicaciones de la Derivada

Tangente: Es la recta que toca a la curva en un punto.

Normal: Recta perpendicular a la recta tangente en el punto donde toca a la curva.

AP₁ = Longitud de la tangente

P₁B = Longitud de la normal

AQ = Longitud de la subtangente

QB = Longitud de la subnormal

Longitud de la subtangente

En el Triángulo que forma AQP₁ La “tanθ = P₁Q/AQ”, pero “P₁Q = y₁” y “tanθ = m = dy/dx”, al despejar AQ se obtiene, “AQ=P₁Q/tanθ”, por consiguiente:

AQ = (y₁) / [dy/dx]

Longitud de la subnormal

En el triángulo BQP₁ la “tanθ = (QB) / (QP₁)”, pero “QP₁ = y₁” y “tanθ = m = (dy/dx)”, al despejar QB se obtiene, “QB = (P₁Q) tanθ”, por consiguiente:

QB = y₁ [dy/dx]

Longitud de la tangente

Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta tangente en el eje X.

En el triángulo AQP₁ por el teorema de Pitágoras:

(AP₁)² = (AQ)² + (QP₁)²

Pero, “AQ = (y₁) / [dy/dx]” y “QP₁ = y₁”, por consiguiente:

(AP₁)² = [ (y₁) / (dy/dx) ]² + (y₁)² = [ (y₁) / (dy/dx) ]²

AP₁ = [ (y₁) / (y’) ] (1 + [dy/dx]²)^1/2

Longitud de la normal

Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta normal con el eje X.

En el triángulo BQP₁ por el teorema de Pitágoras:

(BP₁)² = (BQ)² + (QP₁)²

Pero “BQ = y₁ [dy/dx]” y “QP₁ = y₁”, entonces:

(BP₁)² = ( y₁ [dy/dx] )² + (y₁)² = (y₁)² ( 1 + [dy/dx]² )

Al despejar BP₁, se obtiene “BP₁ = ( 1 + [dy/dx]² )^1/2”, por consiguiente:

BP₁ = y₁ ( 1 + y’² )^1/2

Ecuación de la recta tangente

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P₁(x₁,y₁) con pendiente “m = dy/dx” está dada por:

y – y₁ = [dy/dx] (x - x₁)

Ecuación de la recta normal

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P₁(x₁,y₁) con pendiente “m = - 1 / [dy/dx]” está determinada por:

y – y₁ = - [1/(dy/dx)] (x - x₁)

Recomendamos dar tiempo a interpretar cada despeje y relacionarlo con el gráfico.