Los Cuásares

“Los cuásares se encuentran, debido a su pequeño tamaño y su prodigiosa emisión de energía, entre los objetos más desconcertantes del universo”.

“Los cuásares no son mucho mayores que nuestro sistema solar, y sin embargo vierten una cantidad de luz entre 100 y 1000 veces mayor que toda una galaxia con sus cientos de miles de millones de estrellas”.

Describen los científicos de hubblesite.org

Aunque han sido un misterio durante décadas, en la actualidad casi todos los científicos creen que los cuásares son galaxias muy lejanas y energéticas en cuyo centro hay un agujero negro extremadamente masivo que vomita energía a medida que adsorbe espirales de material galáctico próximo.

Los primeros cuásares se descubrieron gracias a radiotelescopios (instrumentos que reciben ondas de radio espaciales); no había ningún objeto visible que se correspondiera con las señales. A comienzos de la década de 1960 se asociaron por fin algunos objetos visualmente difusos con estas extrañas fuentes que recibieron el nombre de fuentes de radio cuasiestelares (en inglés quasi-stellar radio sources, de ahí su nombre).

El espectro de estos objetos, que muestra las variaciones en la intensidad de su radiación en distintas longitudes de onda, resultó, en un principio, desconcertante. En 1963, sin embargo, el astrónomo estadounidense de origen holandés Maarten Schmidt hizo un descubrimiento increíble: las líneas espectrales eran, simplemente, las del hidrógeno, pero con un desplazamiento al rojo que las trasladaba hacia el final del espectro. Este desplazamiento al rojo, debido a la expansión del universo, implicaba que los cuásares formaban parte de galaxias extremadamente lejanas y antiguas.

En la actualidad se conocen más de 200,000 cuásares, que en su mayoría no presentabas emisiones de radio detectables. Aunque los cuásares parecen borrosos porque se encuentran a grandes distancias (entre 780 y 28,000 millones de años luz), en realidad son los objetos más luminosos y energéticos que conocemos.

Se calcula que pueden tragarse 10 estrellas cada año, o 600 planetas como el nuestro cada minuto, antes de apagarse cuando el gas y el polvo que los rodean se consumen. En ese momento la galaxia que alberga al cuásar se convierte en una galaxia normal. Es posible que los cuásares fueran muy comunes en los comienzos del universo, porque todavía no habían tenido tiempo de consumir toda la materia circundante.

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Aplicaciones de la Derivada Parte 2

Aplicaciones de la Derivada

Ángulo entre 2 curvas

Sea P(x₀,y₀) el punto de intersección entre las curvas f(x) y g(x), entonces el ángulo θ entre las curvas se obtiene con:

tan θ = [f’(x₀) - g’(x₀)] / [1 + f’(x₀) g’(x₀)]

Donde f’(x₀) es la pendiente de la recta L₂ y g’(x₀) es la pendiente de la recta L₁.

Curvatura

Radio de curvatura

En geometría plana la longitud de un segmento circular está dada por la fórmula: s=r(θ) à r= s/θ

En la figura se observa que “s” cambia cuando θ cambia.

En una curva cualquiera, al tomar un segmento muy pequeño formado por dos puntos de la curva y al relacionar la fórmula anterior se tiene que:

De la fórmula anterior se define:

∆r = ∆s / ∆θ

Luego, si la longitud ∆s es cada vez más pequeña, es decir, tiende a 0, el radio de curvatura se define con el siguiente límite:

r = lím_∆sà0 [∆s / ∆θ] = ds/dθ à r = ds/dθ

En esta figura se tienen dos puntos, P y Q, de la curva, muy próximos entre sí, en cada punto se traza una recta tangente y su normal. Al punto de intersección entre las normales se llama Centro de Curvatura y a la distancia del centro a cualquiera de los puntos P y Q se llama radio de curvatura.

La expresión “1/r = dθ / ds” recibe el nombre de curvatura.

Para determinar la fórmula que permita calcular el radio de curvatura se tiene la siguiente figura.

En la función f(x) se tienen los puntos P y Q infinitamente muy próximos, de manera que la longitud del segmento circular ds sea igual a la longitud del segmento PQ; entonces, de la representación geométrica de la derivada se obtiene que:

dy/dx = tanθ à θ = arc tan (dy/dx)

Del triángulo PQR y el teorema de Pitágoras se obtiene:

ds = [(dx)²+(dy)²]^1/2 = ( [1+ (dy/dx)²] (dx)² )^1/2 = ( [1+ (dy/dx)²] )^1/2 dx

Luego:

ds = r (dθ) à r = ds / dθ

r = ds / dθ = ( [1+ (dy/dx)²] )^1/2 dx / d[arc tan (dy/dx)] = [1 + (dy/dx)²] [1+ (dy/dx)²]^1/2 / (d²y/dx²)

Solo derivamos el denominador porque tenemos “θ” y no “dθ” porque el diferencial indica que es una derivada, el numerador ya es directamente el diferencial de “s”.

Finalmente, la fórmula para determinar el radio de curvatura es:

r = [{1+ (y’)²}³]^1/2 / (y’’)

ó

r = [{1+ (dy/dx)²}³]^1/2 / (d²y/dx²)

Círculo de Curvatura

Es una curva dada en un punto de tangencia a la circunferencia, que tiene de centro el centro de la curvatura y de radio de curvatura y que pasa por un punto de tangencia, también se le conoce como circunferencia osculatriz o círculo osculador.

Centro de Curvatura

Para determinar la fórmula que permita calcular el cetntro de curvatura se tiene la siguiente figura.

Donde:

C(a,b) = Centro de Curvatura

Q(x,y) = Punto de la Curva

r = Radio de Curvatura

Se obtiene la ecuación de la recta normal de la recta tangente en el punto Q.

b - y = - (1/y) (a-x)

Se obtiene la ecuación de la circunferencia de centro en el punto C(a,b), radio “r” y que pasa por el punto Q(x,y).

(x - a)² + (y - b)² = r²

Al resolver el sistema de ecuaciones, se obtienen las coordenadas del centro de curvatura.

a = x – [ (dy/dx) (1 + {dy/dx}²) / (d²y/dx²) ], b = y + [ (1 + {dy/dx}²) / (d²y/dx²) ]
ó

a = x – [ (y’) (1 + {y’}²) / (y’’) ], b = y + [ (1 + {y’}²) / (y’’) ]

Radio de Curvatura en coordenadas paramétricas

Dadas las ecuaciones de una curva en coordenadas paramétricas

x = f(t), y = g(t)

El parámetro es cuando a la ecuación se le agrega valga la redundancia un parámetro “t” que puede representar tiempo normalmente en física.

Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:

r = [{(dx/dt)² + (dy/dt)²}^1/2]³ / [(dx/dt)(d²y/dt²) – (dy/dt)(d²x/dt²)]

ó

r = [{(x’)² + (y’)²}^1/2]³ / [(x’)(y’’) – (y’)(x’’)]

Radio de Curvatura en Coordenadas Polares

Dada la curva con la ecuación de la forma:

ρ = f(θ)

Se tiene que:

x= ρcosθ, y = ρsenθ

Entonces, al derivar y sustituir en la fórmula del radio de curvatura en coordenadas rectangulares, se obtiene:

r = [{ρ + (dρ/dθ)²}^1/2]³/[ρ² + 2(dρ/dθ)² – ρ(d²ρ/dθ²)]

ó

r = [{ρ + (ρ’)²}^1/2]³/[ρ² + 2(ρ’)² – ρ(ρ’’)]

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Aplicaciones de la Derivada Parte 1

Aplicaciones de la Derivada

Tangente: Es la recta que toca a la curva en un punto.

Normal: Recta perpendicular a la recta tangente en el punto donde toca a la curva.

AP₁ = Longitud de la tangente

P₁B = Longitud de la normal

AQ = Longitud de la subtangente

QB = Longitud de la subnormal

Longitud de la subtangente

En el Triángulo que forma AQP₁ La “tanθ = P₁Q/AQ”, pero “P₁Q = y₁” y “tanθ = m = dy/dx”, al despejar AQ se obtiene, “AQ=P₁Q/tanθ”, por consiguiente:

AQ = (y₁) / [dy/dx]

Longitud de la subnormal

En el triángulo BQP₁ la “tanθ = (QB) / (QP₁)”, pero “QP₁ = y₁” y “tanθ = m = (dy/dx)”, al despejar QB se obtiene, “QB = (P₁Q) tanθ”, por consiguiente:

QB = y₁ [dy/dx]

Longitud de la tangente

Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta tangente en el eje X.

En el triángulo AQP₁ por el teorema de Pitágoras:

(AP₁)² = (AQ)² + (QP₁)²

Pero, “AQ = (y₁) / [dy/dx]” y “QP₁ = y₁”, por consiguiente:

(AP₁)² = [ (y₁) / (dy/dx) ]² + (y₁)² = [ (y₁) / (dy/dx) ]²

AP₁ = [ (y₁) / (y’) ] (1 + [dy/dx]²)^1/2

Longitud de la normal

Es la distancia que existe entre el punto de tangencia y la intersección de la recta normal con el eje X.

En el triángulo BQP₁ por el teorema de Pitágoras:

(BP₁)² = (BQ)² + (QP₁)²

Pero “BQ = y₁ [dy/dx]” y “QP₁ = y₁”, entonces:

(BP₁)² = ( y₁ [dy/dx] )² + (y₁)² = (y₁)² ( 1 + [dy/dx]² )

Al despejar BP₁, se obtiene “BP₁ = ( 1 + [dy/dx]² )^1/2”, por consiguiente:

BP₁ = y₁ ( 1 + y’² )^1/2

Ecuación de la recta tangente

La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P₁(x₁,y₁) con pendiente “m = dy/dx” está dada por:

y – y₁ = [dy/dx] (x - x₁)

Ecuación de la recta normal

La ecuación de la recta normal a una curva en el punto P₁(x₁,y₁) con pendiente “m = - 1 / [dy/dx]” está determinada por:

y – y₁ = - [1/(dy/dx)] (x - x₁)

Recomendamos dar tiempo a interpretar cada despeje y relacionarlo con el gráfico.

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La Teoría del Todo

“Mi ambición consiste en llegar a ver toda la física reducida a una única fórmula tan sencilla y elegante que se pueda estampar con facilidad en la parte delantera de una camiseta”

Leon Lederman

“Por primera vez en la historia de la física disponemos de un marco capaz de explicar todas las características fundamentales con las que está construido el universo, que podría explicar además de las propiedades de las partículas fundamentales y de las fuerzas por las cuales interaccionan e influyen unas sobre otras”.

Brian Greene

La teoría del todo unifica conceptualmente las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza, que son, en orden decreciente de fuerza:

1.- La interacción nuclear fuerte (que mantiene unido el núcleo del átomo, reúne los quarks en las partículas elementales y hace que las estrellas brillen).

2.- La interacción electromagnética (entre cargas eléctricas y entre imanes).

3.- La interacción nuclear débil (que rige la desintegración radioactiva de los elementos).

4.- La interacción gravitatoria (que mantiene unidos a la Tierra y el Sol).

Alrededor de 1967 los físicos mostraron que dos interacciones, la electromagnética y la nuclear débil, podían unificarse en una sola, la electrodébil.

Aunque existe controversia, una candidata de la teoría del todo es la teoría M, que postula que el universo tiene 10 dimensiones espaciales y una temporal. La idea de dimensiones adicionales también puede ayudar a resolver el problema de jerarquía relacionado con el hecho de que la gravedad es mucho menos fuerte que las otras interacciones. Una solución sería que la gravedad se filtrara a otras dimensiones que no son nuestras tres dimensiones espaciales normales. 

Si la humanidad encontrara la teoría del todo, unificando las cuatro interacciones en una ecuación breve, los físicos podrían saber si las máquinas del tiempo son posibles y qué sucede en el centro de los agujeros negros, y nos concedería la capacidad, como señaló Stephen Hawking, de leer “la mente de Dios”.

Este capítulo se ha datado en 1984 de forma arbitraria: se trata de la fecha de un decisivo descubrimiento de la teoría de las supercuerdas por parte de Michael Green y John Schwarz. La teoría M, una extensión de la teoría de cuerdas, se desarrolló en la década de los 90.

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La Conjetura de Protección Cronológica

Si fuese posible viajar al pasado, ¿Cómo se evitarían ciertas paradojas, como la posibilidad de que alguien asesine a su abuela e impida su propio nacimiento? Los viajes al pasado podrían no estar regidos por leyes físicas conocidas; tal vez estén permitidos por ciertas técnicas hipotéticas que emplean agujeros de gusano (atajos en el espacio-tiempo) o altas gravedades. 

Si es posible viajar en el tiempo ¿Por qué no tenemos pruebas de la existencia de viajeros temporales? El novelista Robert Silverberg planteó con elocuencia el problema de los turistas en el tiempo:

“Si se lleva al extremo, la paradoja del público acumulativo arroja la imagen de miles de millones de viajeros en el tiempo que se amontonan en el pasado para ser testigos de la Crucifixión, y no solo atestan la tierra santa, sino que también se extienden por Turquía, por Arabia, incluso por India y por Irán. Sin embargo, cuando el acontecimiento tuvo lugar, esas muchedumbres no estaban allí. Llegará un momento en el que abarrotaremos el pasado hasta la asfixia. Llenaremos nuestros ayeres de nosotros mismos y no dejaremos espacio para nuestros antepasados”.

Debido en parte al hecho de que nunca hemos visto a nadie procedente del futuro, el físico Stephen Hawking formuló la conjetura de protección de la cronología, que propone que las leyes de la física impiden la creación de una máquina del tiempo, sobre todo en escala macroscópica. En la actualidad continúa el debate acerca de la naturaleza concreta y la validez real de esta conjetura. ¿Podrían evitarse las paradojas mediante una mera cadena de coincidencias que impidiera que alguien matase a su abuela, aunque viajase al pasado? ¿O este viaje está prohibido por alguna ley fundamental de la naturaleza, por ejemplo, alguna relacionada con los aspectos mecano cuánticos de la gravedad?

Si fuese posible viajar al pasado, a lo mejor nuestro pasado no se vería alterado porque cuando alguien se desplaza hacia atrás en el tiempo entra en un universo paralelo en el mismo instante de la llegada. El universo original permanecería intacto, pero el nuevo incluiría todos los actos y modificaciones introducidos por el viajero.

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Regla de la Cadena

Historia

Hopital escribió el primer libro de cálculo en 1696, en el cual eran obvias las influencias de sus profesores Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz.

Hopital sirvió como oficial de caballería, pero tuvo que retirarse a causa de ser corto de vista. Desde ese tiempo dirigió su atención a las matemáticas. Hopital aprendió cálculo de su maestro Johann Bernoulli en 1691.

Hopital era un excelente matemático, en 1692 su fama está basada en su libro Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.

En este libro publicó la regla de la cadena que ahora se conoce como la regla de Hopital, para encontrar el límite de una función racional cuyo denominador y numerador tienden a 0.

Definición

Sea y = g(u), u = f(x), entonces la derivada de y = [f g] (x) = g[ f(x) ], se define:

dy/dx = d (g f )[x] / dx = d g( f[x] ) / dx = [dy/du] (du/dx)

Se define así debido a que la derivada de f(x), tiene como variable independiente “x” y a la función que contiene esta variable independiente la llamamos “u”, de forma que la representamos como:

du/dx = La derivada de “u” con respecto de “x”. à Normalmente llamamos “f(x) = y” en lugar de “u”, pero en este caso la variable “y” la utilizaremos para nombrar a g(u).

Como dato adicional decimos que g(f[x]) se puede escribir como g(u) y este es igual a “y”, de forma que su derivada la representamos como:

dy/du = La derivada de “y” con respecto de “u”, ya que la variable independiente es “u”.

De esta manera obtenemos que:

[dy/du] (du/dx) = dy/dx

Cuando hay más de dos funciones se definirá así:

dy/dx = (dy/du) (du/dv) (dv/dx)

Solo tenemos que dar un nombre a cada función y derivarla con respecto a su variable independiente, una vez hecho esto, las multiplicamos.

y=u³

u= (v-1/v+1)

v= x+2

De forma que derivamos cada una de las funciones.

dy/du = 3u²

du/dv = 2/(v+1)²

dv/dx = 1

Entonces sabemos que la solución de “(d/dx)[y*u*v]” si y=u³, u= (v-1/v+1) y v= x+2, es:

6u²/(v+1)²

^{Practicamente en la regla de la cadena podemos sustituir todas las variables en una función y derivarla, así que en pocas palabras la regla de la cadena sería algo así como esta imagen.}

Les recordamos que el formulario de matemáticas se puede descargar desde aquí.

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Tensegridad

Tensegridad

Heráclito de Efeso, el filósofo de la antigua Grecia, escribió que el mundo es una “armonía de tensiones”. Una de las materializaciones más misteriosas de esta filosofía la constituyen los sistemas de tensegridad, que Buckminster Fuller, su inventor, descubrió como “islas de comprensión en un océano de tracción”.

Imaginemos una estructura compuesta solamente por varillas rígidas y cables. Los cables conectan las varillas por sus extremos, que nunca se tocan. La estructura es estable a pesar de la fuerza de la gravedad. ¿Cómo es posible que se mantenga una estructura de aspecto tan endeble?

La integridad estructural de este tipo de construcciones se mantiene gracias a un equilibrio entre las fuerzas de tensión (como la tracción que ejerce un cable) y las fuerzas de compresión  (como las que tienden a comprimir las varillas). Encontramos otro ejemplo de estas fuerzas cuando al presionar hacia el interior los dos extremos de un muelle longitudinal lo comprimimos si tiramos de los extremos hacia el exterior, creamos más tensión.

En los sistemas de tensegridad, las varillas rígidas que soportan la compresión tienden a estirar (o tensar) los cables que soportan la tensión, que a su vez comprimen las varillas. Si la tensión de uno de los cables aumenta, es posible que lo hagan también todas las tensiones de la estructura, que se equilibran con un incremento en la compresión de las varillas. Las fuerzas que actúan en todas las direcciones de una estructura de tensegridad suman, en conjunto, una fuerza neta que es igual a cero. Si no fuera así, la estructura saldría disparada (como una flecha disparada por un arco) o se desmoronaría.

En 1948, el artista Kenneth Snelson realizó una estructura de tensegridad con forma de cometa que utilizó “X-Picce”. Más tarde Buckminster Fuller acuñó el término tensegridad para este tipo de estructuras, Fuller reconoció que las fuerzas y eficiencia de sus enormes cúpulas geodésicas procedían de una estabilidad estructural similar que distribuye y equilibra las tensiones mecánicas en el espacio.

Somos, hasta cierto punto, sistema de tensegridad en los que los huesos sufren una compresión que se equilibra gracias a los tendones, que a su vez sufren tensión. El citoesqueleto de una célula animal microscópica también se parece a un sistema de tensegridad. De hecho, las estructuras de tensegridad reproducen algunos de los comportamientos que se han observado en las células vivas.  

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La Derivada

Historia

En un periodo de menos de dos años, cuando Newton tenía menos de 25 años, comenzó con avances revolucionarios en matemática, óptica, física y astronomía.

Mientras Newton estaba en casa (debido a una peste que cerró la universidad de Cambridge) estableció las bases del cálculo diferencial e integral. El método de las fluxiones, como él lo llamó, estaba basado en su crucial visión de que la integración de una función era el procedimiento inverso de su derivación.

Al considerar a la derivación como la operación básica, Newton produjo sencillos métodos analíticos que unificaban muchas técnicas diferentes desarrolladas previamente para resolver problemas, en apariencia no relacionados, como calcular áreas, tangentes, longitud de curvas y los máximos y mínimos de funciones. El De Methodis Serierum et Fluxionum de Newton fue escrito en 1671, pero Newton no pudo publicarlo y no apareció impreso hasta que John Colson produjo una traducción al inglés en 1736.

Definición

Sea f(x) una función, se define a su derivada f’(x), como:

f'(x) = Lím_∆xà0 [ f(x+∆x) - f(x) ] / [∆x]

La derivada de una función también puede expresarse y leerse como:

y’ = Derivada de “y”

f’(x) = Derivada de una función de variable “x”

dy/dx = Derivada de “y” con respecto de “x” ó diferencial de “y” entre diferencial de “x”.

D_xy = Derivada parcial de “y” con respecto de “x”

Interpretación geométrica

El valor de la derivada en cualquier punto de la curva es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto donde:

∆x = incremento de “x”

∆y = incremento de “y”

L = Derivada o Pendiente de la función

Mientras que el ∆x o ∆y se aproxime a 0, significa que la pendiente también se aproxima a 0. Por eso se dice que la pendiente tiene un límite cuando ∆x tiende a 0, si está de variable independiente “x”, o también tiene un límite cuando ∆y tiende a 0, si la variable independiente es “y”.

La derivada es la pendiente que está dada por el ángulo formado de este triángulo rectángulo, Veamos porqué:

Para encontrar el ángulo en un triángulo rectángulo, conociendo el cateto opuesto y el adyacente, se utiliza la fórmula:

Tan (ángulo) = Cateto Opuesto / Cateto Adyacente

Por eso se dice que la derivada es la pendiente de una recta tangente a la función.

El cateto opuesto y el cateto adyacente de la función están dados por los incrementos de “x” y de “y”.

En matemáticas cuando queremos representar un cambio en una variable, lo presentamos como el “diferencial”, por eso podemos decir que:

∆y/∆x = dy/dx = Lím_∆xà0 [ f(x+∆x) - f(x) ] / [∆x]

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El Efecto Túnel

El Efecto Túnel

Imaginemos que lanzamos una moneda contra la pared que separa dos habitaciones. La moneda rebota porque no dispone de suficiente energía para atravesar la pared. Sin embargo, según la mecánica cuántica, la moneda está representada por una función de onda de probabilidad difusa que penetre en la materia. Esto significa que la moneda tiene una pequeña probabilidad de atravesar la pared como por un túnel y terminar en la otra habitación.

Las partículas pueden traspasar estas barreras debido al principio de incertidumbre de Heisemberg aplicado a la energía. Según este principio, no es posible decir que una partícula tiene una cantidad determinada de energía en un instante concreto. La energía de una partícula puede mostrar fluctuaciones externas en pequeñas escalas temporales, de forma que puede disponer de energía suficiente como para atravesar una barrera.

Algunos transistores utilizan el efecto túnel para mover electrones de un lado a otro del dispositivo. La desintegración de algunos núcleos por medio de la emisión de partículas se sirve del efecto túnel. Las partículas alfa (núcleos de helio) terminan escapando así de los núcleos de uranio. Según los trabajos que publicaron de forma independiente George Gamow y el equipo de Ronald Gumey y Edward Condon en 1928, las partículas alfa no podrían escapar si no existiera el efecto túnel.

El efecto túnel también es importante para mantener las reacciones de fusión en el Sol. Sin el efecto túnel las estrellas no brillarían. Los microscopios de efecto túnel se sirven de estos fenómenos para proporcionar imágenes de superficies microscópicas por medio de una punta muy afilada y una corriente de efecto túnel entre la punta y la muestra. Por último, la teoría del efecto túnel se ha aplicado en modelos cosmológicos y para comprender los mecanismos enzimáticos que aceleran las reacciones químicas.

El efecto túnel tiene lugar constantemente en la escala subatómica, pero sería poco probable (aunque posible) que fuésemos capaces de pasar de nuestro dormitorio a la cocina contigua. Sin embargo, en caso de que alguien se lanzara contra la pared una vez por segundo, tendría que esperar un tiempo mayor que la edad del universo antes de tener una buena opción de pasar al otro lado gracias al efecto túnel.

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La Aurora Boreal

“La aurora boreal se había convertido en motivo de pánico”

Escribió el meteorólogo Alfred Agno refiriéndose a la reacción de la gente en el siglo XVI ante la aparición de cortinillas de luz en el cielo.

“En ellas se veían con claridad lanzas ensangrentadas, cabezas separadas del tronco y ejércitos en combate. Al ver todo aquello, unos se desmayaban, otros enloquecían”.

George Bryson señala que:

“Los antiguos escandinavos veían en las luces septentrionales las almas recién liberadas de mujeres fuertes y hermosas contoneándose en el aire. Un verde eléctrico salpicado de un azul de neón, un rosa espeluznante tornándose rojo oscuro, un violeta reluciente desvaneciéndose”.

Partículas cargas de energía que manan del viento solar entran en la atmósfera de la Tierra y son canalizadas hacia los polos norte y sur magnéticos. Estas partículas, al girar en espiral siguiendo las líneas de campo magnético, colisionan con los átomos de oxígeno y nitrógeno de la atmósfera excitándolos. Cuando los electrones de los átomos recuperan su estado normal de menor energía, emiten una luz (por ejemplo roja y verde en el caso de los átomos de oxígeno) que cerca de las regiones polares de la Tierra se percibe en forma de fenómenos luminosos sorprendentes y que tienen lugar en la ionosfera (la capa más alta de la atmósfera, cargada de radiación solar). El nitrógeno puede conferir el tinte azulado cuando un átomo de nitrógeno recupera un electrón después de haber sido ionizado. 

Si está cerca del Polo Norte, la luz producida se llama aurora boreal.

El equivalente en el sur se llama aurora austral.

Aunque hay pinturas rupestres del hombre de Cromagnon que parecen representar antiguas auroras, no fue hasta 1621 cuando Pierre Gassendi, filósofo, sacerdote, astrónomo y matemático francés, acuñó el término aurora borealis con los vocablos Aurora (La diosa romana del amanecer) y Bóreas (El nombre griego de “viento del norte”).

En 1741, los astrónomos suecos Olof Petrus Hiorter y Anders Celsius sugirieron que las auroras estaban gobernadas por procesos magnéticos cuando apreciaron fluctuaciones en las ajugas de las brújulas en el movimiento en que la aurora era visible en el cielo. Hoy sabemos que otros planetas como Júpiter y Saturno, tienen campos magnéticos más poderosos que los de la Tierra y también tienen auroras.

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El Latigazo Supersónico

Se han dedicado muchos artículos científicos al sonido supersónico al restallar un látigo, artículos que recientemente se han visto acompañados por fascinantes debates acerca del mecanismo físico que lo provoca. Los físicos saben, desde comienzos del siglo XX, que cuando el mango de un látigo se mueve rápidamente y de la forma adecuada, el extremo puede superar la velocidad del sonido. En 1927, el físico Z. Carrière utilizó técnicas fotográficas de alta velocidad para demostrar que había un estampido sónico asociado al restallido del látigo. La explicación tradicional, que no tiene en cuenta la fricción es que a medida que un movimiento de una sección del látigo se desplaza por el mismo y se localiza en porciones cada vez más pequeñas, debe viajar cada vez más rápido para cumplir el principio de conservación de la energía. 

La energía cinética del movimiento de un punto de masa  m viene dada por E=1/2 mv², si E permanece constante y m decrece, la velocidad v debe aumentar. Al final, un trozo de látigo, cerca del extremo, viaja a una velocidad superior a la del sonido (aproximadamente 1.236 kilómetros por hora, a 20°C y con aire seco) y produce un estallido, igual que un avión que supera la velocidad del sonido en el aire. Es posible que los látigos fuesen los primeros instrumentos creados por el hombre, capaces de romper la barrera del sonido.

En 2003, Alain Goriely y Tyler McMillen, expertos en matemática aplicada, representaron el impulso que crea el restallido de un látigo como una onda que se desplaza a lo largo de una varilla elástica de sección decreciente. Escribieron, acerca de la complejidad del mecanismo: “El chasquido es un estallido sónico que se produce cuando una sección del látigo, en el extremo, viaja con una velocidad mayor que la del sonido. 

La rápida aceleración del extremo del látigo, se produce cuando una onda viaja hacia el extremo de la varilla, y la energía formada por la energía cinética del bucle en movimiento, la energía elástica almacenada en el bucle y el momento angular de la varilla, se conecta en una pequeña sección de la misma, para después convertirse en la aceleración del extremo de la varilla”. El diámetro decreciente de la sección de la varilla también incrementa la velocidad máxima.

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El Mecanismo de Anticitera

El mecanismo de Anticitera es un antiguo dispositivo de cálculo que se utilizaba para determinar posiciones astronómicas y que ha dejado perplejos a los científicos durante más de un siglo. Encontrado en torno a 1902 por el arqueólogo Valerios Stais entre los restos de un naufragio frente a la costa de la isla griega de Anticitera, se cree que fue construido entre los años 150 y 100 a.C. la periodista Jo. Marchant ha apuntado que “entre los objetos recuperados que posteriormente se embarcaron rumbo a Atenas, había un bloque amorfo en el que nadie reparó en un principio hasta que se desmenuzó, saliendo a la luz engranajes, agujas de bronce e inscripciones minúsculas en griego […] Era una maquinaria sofisticada y precisa compuesta de cuadrantes, manecillas y como poco, treinta engranajes interconectados de una complejidad nunca descrita en ningún documento histórico hasta más de un milenio después, hasta la época del desarrollo de los relojes astronómicos en la Edad Media europea”.

Una esfera situada en el frontal del aparato debía alojar al menos tres manecillas, una de las cuales indicaba la fecha y las otras dos, las posiciones del Sol y la Luna. Es muy probable que el aparato también se empleara para registrar las fechas de celebración de los Juegos Olímpicos de la antigüedad, predecir eclipses solares e indicar otros movimientos planetarios.

El mecanismo dedicado a la Luna incorpora una serie de engranajes de bronce que entusiasman especialmente a los físicos. Dos de ellos están unidos a través de compensación para señalar la posición de la Luna y sus fases. Como es sabido desde que se formularon las leyes de Kepler sobre los movimientos planetarios, la Luna se desplaza a diferente velocidad en diferentes fases de su órbita en torno a la Tierra (más rápido cuando está más cerca de la Tierra) y esa diferencia de velocidad se ajusta a lo reproducido por el mecanismo de Anticitera aun cuando los antiguos griegos no tuvieran noticia de la órbita lunar era en realidad elíptica. Podemos añadir que también la Tierra se desplaza más deprisa en su órbita cuando está más cerca del Sol que cuando está más lejos.

Marchant proseguía: “Al accionar la manivela de la caja se podía hacer avanzar o retroceder al tiempo para ver cuál sería la situación del cosmos hoy, mañana, el martes pasado o dentro de cien años. Quienquiera que fuese el propietario de este aparato debió sentirse el amo del firmamento”   

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La Teoría de las Catástrofes

La teoría de las catástrofes es la teoría matemática de los cambios repentinos o drásticos. Los matemáticos Tim Poston e Ian Stewart ofrecen ejemplos:

1.- El bramido de un terremoto.

2.- El nivel crítico de densidad de población por debajo del cual algunas concentraciones de saltamontes crecen como tales, y por encima del cual lo hacen como langostas.

3.- Una célula que cambia de forma repentina su rito de reproducción y lo duplica y vuelve a duplicar, de forma cancerosa.

La teoría de las catástrofes fue desarrollada por el matemático francés Thom en los años sesenta. La teoría se volvió a impulsar en los años setenta, por el matemático Christopher Zeeman, que continúo aplicando la teoría a las ciencias biológicas y del comportamiento. A Thom se le concedió la medalla Fields en 1958 por su trabajo en topología, el estudio de las formas geométricas y sus relaciones.

La teoría de las catástrofes suele hacer referencia a sistemas dinámicos que describen la dependencia temporal de ciertas magnitudes físicas (como el latido del corazón) y la relación de estos sistemas con la topología. En particular, la teoría se centra en ciertos tipos de puntos críticos en los cuales la primera derivada de una función y una o más de sus derivadas superiores son cero. 

Según David Darling:

“Muchos matemáticos se pasaron al estudio de la teoría de las catástrofes y durante un tiempo estuvo en boga, aunque no llegó a alcanzar el éxito de su hermana pequeña, la teoría del caos, debido a que fallo en su promesa de proporcionar predicciones útiles”.

La investigación de Thom pretendía comprender mejor cómo las acciones continuas (como un comportamiento estable y regular en una prisión o entre países) podrían dar lugar a un cambio discontinúo (como motines en la prisión o una guerra). Mostró como dichos fenómenos podían representar con sus propios paisajes de forma de superficies matemáticas abstractas, con nombres como la mariposa o la cola de la golondrina.

El último cuadro de Salvador Dalí, La cola de la golondrina (1983), se basó en una superficie de catástrofe. Dalí también punto El rapo topológico de Europa: Homenaje a René Thom (1983), que describía un paisaje fracturado junto a una ecuación que lo describía. 

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Fibra óptica

Fibra óptica

La tecnología de la fibra óptica tiene una historia muy larga que incluye demostraciones tan espectaculares como la fuente luminosa de 1841, del físico Jean-Daniel Colladon, en el que la luz recorría el interior de un chorro de agua en forma de arco proveniente de un depósito. La fibra óptica moderna –descubierta y redefinida de manera independiente muchas veces a lo largo del siglo XX – Emplea vidrio flexible o materiales plásticos para transmitir la luz. En 1957, se patento el endoscopio de fibra óptica que permitía a los médicos ver la parte superior del tracto gastrointestinal.

A través de un proceso llamado reflexión interna total (véase La ley de refracción de Snell), la luz queda atrapada en el interior de la fibra debido a que el material de su núcleo posee un índice de refracción mayor que el del fino revestimiento que lo rodea. Una vez que la luz entra en el núcleo de la fibra, se refleja sin cesar de sus paredes. La propagación de la señal puede sufrir alguna perdida de intensidad en el trayecto de distancias muy largas, por lo que a veces es necesario impulsar las señales luminosas utilizando regeneradores ópticos. En la actualidad, la fibra óptica aporta muchas ventajas con respectivamente al cable de cobre tradicional utilizado en las comunicaciones. La señal viaja a lo largo de fibras relativamente económicas y livianas con un nivel inferior de atenuación y que no se ven afectadas por interferencias electromagnéticas. Además, la fibra óptica puede servir para iluminar a transferir imágenes, lo que permite iluminar y ver obj

etos que están en los lugares estrechos o de difícil acceso.

En las comunicaciones óptica, cada fibra puede transmitir muchos canales de información independientes utilizando haces de luz de diferentes longitud de onda. La señal se puede iniciar como un flujo electrónico de bits que modula la luz procedente de una fuente minúscula, tal como un diodo emisor de luz (LED) o un diodo láser, para después transmitir los pulsos provenientes de la luz infrarroja. En 1991 se desarrolló la fibra de cristal fotónico, que guía la luz mediante el efecto de difracción por una estructura periódica de agujeros cilíndricos que corren por las fibras.     

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