Dimensión de Hausdorff

La dimensión de Hausdorff

El matemático Félix Hausdorff (1868-1942) introdujo en 1918 la dimensión de Hausdorff que puede utilizarse para medir las dimensiones fraccionarias de los conjuntos fractales. En nuestra vida diaria, solemos pensar en las dimensiones topológicas enteras de objetos lisos. Por ejemplo, un plano presenta las dimensiones, debido a que un punto del plano puede describirse a través de dos parámetros independientes, por ejemplo, distancias medidas en un par de ejes x e y. Una línea recta tiene una sola dimensión.

En relación con algunos conjuntos y curvas más complicados, la dimensión de Hausdorff aporta otra forma de definir la dimensión. Imaginemos un línea que describa un patrón zigzagueante y se enrosque de una forma tan complicada que cubra de forma parcial el plano. Su dimensión de Hausdorff va más allá de 1 y adopta valores que se acercan cada vez más a 2 conforme la línea cubre más el plano.

Las curvas que llenan espacios como las curvas de Peano, infinitivamente complicadas, tienen una dimensión de Hausdorff de 2, las dimensiones de Hausdorff de las líneas costeras van desde 1,02 en la costa de Sudáfrica, hasta 1,25 en la costa occidental de Gran Bretaña. En realidad, una de las definiciones de fractal es “conjunto en relación con el cual la dimensión de Hausdorff supera la dimensión topológica”. La utilidad de las dimensiones fraccionarías para cuantificar la irregularidad, las puntas de crecimiento y la complejidad se ha demostrado en diversas áreas, como el arte, la biología y la geología.

Hausdorff, de origen judío, fue profesor de matemáticas en la Universidad de Bonn y uno de los fundadores de la topología moderna, célebre por su trabajo en el análisis funcional y la teoría de conjuntos. En 1942, a punto de ser enviado a un campo de concentración nazi, se suicidó junto a su mujer y a su cuñada. El día de antes, Hausdorff escribió a un amigo lo siguiente: “Perdónanos. Te deseamos a ti y a todos nuestros amigos mejores tiempos”. Muchos de los enfoques utilizados para calcular la dimensión de Hausdorff en relación con conjuntos complicados fue formulada por otro judío, el matemático ruso Abram Somoilovitch Besicovitch (1891 – 1970), por eso a veces se utiliza el término de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.