Observar un átomo aislado

“La investigación del doctor Crewe abrió una nueva ventana al mundo liliputiense de los ladrillos fundamentales de la naturaleza” escribe el periodista John Markoff, “y nos ofrece una nueva herramienta, muy poderosa, para comprender la arquitectura de todas las cosas, desde los tejidos orgánicos hasta las aleaciones metales”.

El mundo nunca había visto un átomo por medio de un microscopio de electrones antes de que Albert Crewe, profesor de la universidad de Chicago, utilizara la primera versión exitosa de su microscopio electrónico de transmisión y barrido. Aunque la idea de una partícula elemental ya había sido propuesta en el siglo v a.C. por el filósofo griego Demócrito, los átomos eran demasiado pequeños y no podían observarse por medio de microscopios ópticos. En 1970, Crewe publicó en la revista Science un artículo fundamental titulado “La visibilidad de los átomos individuales”, en el que se presentaba pruebas fotográficas de átomos de uranio y torio.

“Tras asistir a un congreso en Inglaterra, se olvidó de comprar un libro para el viaje en el aeropuerto; en el avión sacó un bloc de notas y esbozó dos formas de mejorar los microscopios existentes”, escribe Markoff. Más tarde, Crewe diseñó una fuente mejorada de electrones (un cañón de emisión de campo) para barrer la muestra.

Los microscopios de electrones utilizan un rayo de electrones para iluminar las muestras. En el microscopio electrónico de transmisión, inventado en torno a 1933 por Max Knoll y Ernst Ruska, los electrones atraviesan una delgada muestra seguida por una lente magnética creada por una bobina portadora de corriente. El microscopio electrónico de barrido se sirve de lentes eléctricas y magnéticas colocadas antes de la muestra para focalizar los electrones en un pequeño punto que a continuación se barre por toda la superficie. El STEM es un híbrido de ambas técnicas.

En 1955, el física Erwin Müller utilizó un microscopio de iones en campo observar átomos. El aparato utilizaba un campo eléctrico grande, aplicado a una punta metálica afilada en un gas. Los átomos del gas que llegaban al punto se ionizaban y podían ser detectados. Según el físico Peter Nellist, “dado que es más probable que el proceso se dé en lugares concretos de la superficie de la punta, en los niveles de la estructura atómica, la imagen es resultante representa la estructura atómica subyacente de la muestra”.

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Ecuaciones Diferenciales

Clasificaciones

Clasificaciones de las ecuaciones diferenciales según su:

Tipo

Ecuación Diferencial Ordinaria: Una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes respecto a una variable independiente.

y’’ – 4y’ = (y’’)²

Ecuación Diferencial Parcial: Una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes con respecto de 2 o más variables independientes.

ds/dy = t²(cosy) + d³y/dt³

Orden

El orden de una ecuación diferencial es la derivada más alta contenida en la ecuación.

(dy/dx)³ = cos(3x) + (d²y/dx²)  à  En este caso es de segundo orden.

Grado

El grado de una ecuación diferencial ordinaria es el exponente a la que se encuentra elevada la máxima derivada.

Linealidad

Una Ecuación Diferencial Ordinaria es lineal si cumple las siguientes características:

1.- La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.

2.- Los coeficientes a₀, a₁,…, a_n dependen solo de la variable independiente o pueden ser constantes.

3.-Es lineal si tiene la forma de la siguiente ecuación:

a_n (x) [dⁿy/dxⁿ] + a_n-1 (x) (d^n-1y/dx^n-1) + … + a₁ (x) (dy/dx) + a₀ (x) (y) = g(x)

Algoritmo para identificar la linealidad:

1.- Identificar las variables dependientes e independientes.

2.- Señalar con un color determinado a la variable dependiente y sus derivadas en cada término.

3.- Verificar que lo señalado tenga grado 1.

4.- Lo que no está señalado debe depender exclusivamente de la variable independiente.

(d²u/dv²) = 3p / sen(v²) à p = constante

(d²u/dv²) = [ u⁰ ] [ 3p / sen(v²) ]

Resolver una Ecuación Diferencial

Resolver una Ecuación Diferencial es encontrar todas sus soluciones, es decir, es encontrar su conjunto solución. Siempre que sea posible, al resolver una ecuación diferencial hay que especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución.

Se debe especificar en qué intervalo está definida cada función del conjunto solución.

En el estudio de ecuaciones diferencial es normal entender “y’=dy/dx” como el cociente de diferenciales. De esta forma por ejemplo si la ecuación diferencial es:

dy/dx = M(x,y)/N(x,y)

Esta puede ser escrita como:

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

A esta expresión la denominaremos como su forma diferencial.

M (x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Ejemplo

Demostrar que “[x³/3] + x + [y²/2] – 2y = C” define implícitamente la solución general de la ecuación diferencial:

(x² + 1) dx + (y – 2) dy = 0

A fin de no recurrir al concepto de derivada procedemos directamente por diferenciales. Debemos recordar que la diferencial de una función y = f(x) se define mediante:

y' = f(x) dx

De lo cual se desprende que las reglas de derivación son idénticas para diferenciales cambiando únicamente la palabra derivada por diferencial. Así, tenemos:

d (xy) = (x) dy + (y) dx

Para este ejemplo calculamos la diferencial de ambos miembros de la solución general. Hallamos:

d ([x³/3] + x + [y²/2] – 2y) = d (C)  à  (3) [x²/3] dx + 1 dx + (2) [y/2] dy – 2 dy = 0

x² dx + dx + y dy – 2 dy = 0 à (x² + 1) dx + (y – 2) dy = 0

Tipos de Soluciones

1.- Solución Particular: es la que representa una solución específica de la ecuación diferencial.

2.- Solución General: es la que representa a una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial. Esta representación incluye una o varias constantes arbitrarias.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Recordemos que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una relación entre y’, “y” y “x” (la variable independiente) de la forma:

F(y’,y,x) = 0 à Donde F es una función de 3 variables.

Y’= f(x,y) à Se dice que esta es la forma normal.

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Una ecuación diferencial y’= dy/dx = f(x,y) es de variables separables si podemos describirla en la forma:

g(y) dy = h(x) dx

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad:

ꭍ g(y) dy = ꭍ h(x) dx

α(y) + c₁ = β(x) + c₂

α(y) - β(x) = c₂ – c₁

φ(x,y) = C à Que es una solución general de la Ecuación Diferencial.

Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma:

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = g(x)  à Donde a₀≠0

Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es de la forma

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = 0  à Donde a₀≠0

Nótese la diferencia entre las ecuaciones.

Resolución de una ecuación diferencial lineal homogénea

Método:

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = 0

Es separable de modo que:

[dy/dx] = - [a₁ (x) / a₀ (x)] (y)

[dy/y] = - [a₁ (x) / a₀ (x)] (dx)

[dy/y] = - p(x) dx à p(x) = [a₁ (x) / a₀ (x)]

Integrando se obtiene que:

Ln(y) = -ꭍ p(x)dx + C

y = e^{-ꭍp(x) dx + c}

y = e^{-ꭍp(x) dx} (e^c) à e^c  es una constante más

y = Ce^{-ꭍp(x) dx} àFórmula

Entonces acomodando la ecuación de la forma:

[dy/y] = - p(x) dx

Resolvemos con la fórmula:

y = Ce^{-ꭍp(x) dx}

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Para identificar estas ecuaciones tenemos que verificar que la suma de exponentes de cada término sea igual.

Por ejemplo:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

Observamos que todos los términos tienen grado 3.

Directamente podemos decir que es una ecuación homogénea pero tenemos otros 3 métodos para asegurarnos:

Si podemos factorizar t³ cuando agregamos la variable t en la función de la siguiente forma:

F(tx,ty) = 2 (tx)² [ty] – (tx) [ty]² + 4 [ty]³

[t³] F(x,y) = t³ [2x2y – xy² + 4y³]

Si podemos factorizar x³ de la siguiente forma:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

[x³] F(1,y/x) = x³ [2(y/x) – (y/x)² + 4 (y/x)³]

Si podemos factorizar y³ de la siguiente forma:

F(x,y) = 2x²y – xy² + 4y³

[y³] F(x,y) =  y³ [2(x/y)² – (x/y) + 4]

Resolución de una ecuación diferencial no homogénea de primer orden

Partiendo de la forma inicial

a₀ (x) [dy/dx] + a₁ (x) [y] = g(x)  à a₀ (x) ≠ 0

Dividiendo entre a₀ (x) :

[dy/dx] + ( a₁ (x) [y] ) / [a₀ (x)] = [g(x)/ a₀ (x)]

Tomando en cuenta que à p(x) = [a₁ (x)] / [a₀ (x)] à f(x) = [g(x)/ a₀ (x)]

Entonces:

[dy/dx] + p(x) y = f(x)

Se calcula un factor integrante:

ɱ(x) = e^ꭍp(x)dx

Veamos como datos extras que:

ɱ’(x) = p(x) [e^ꭍp(x)dx]

ɱ’(x) = p(x) [ɱ(x)]

                                                                                          ɱ’ = p ɱ

y que:

ɱy = my

d/dx [ɱy] = ɱ [dy/dx] + y [dɱ/dx]

Sustituyendo ɱ’ = p ɱ

(ɱy)’ = ɱ [dy/dx] + y (p ɱ)

Factorizando ɱ

(ɱy)’ = ɱ (y’ + py)

Se multiplica por la función del factor integrante:

ɱ ( y’ + p (y) ) = ɱ (f) à Para acortar recordemos que f = f(x), p = p(x)

Considerando que (ɱy)’ = ɱ (y’ + py) se tiene que:

(ɱy)’ = ɱf

Integrando se obtiene:

ɱy + C = ꭍ ɱ f (dx) + C

Despejando “y”:

y = (1/ɱ) [ ꭍɱ f (dx) ] + [C/ɱ]

Sustituyendo à ɱ(x) = e^ꭍp(x)dx

Y = e^-ꭍp(x)dxꭍ e^ꭍp(x)dx f(x) dx + Ce^-ꭍp(x)dxàFórmula

Siendo esta una fórmula para resolver directamente la ecuación de la forma:

[dy/dx] + p(x) y = f(x)

Resolución de una ecuación diferencial homogénea

Método 1:

Partiendo de la forma inicial de una ecuación homogénea tenemos:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0:

Esta ecuación la podemos presentar de la siguiente forma:

[dy/dx] = - [M(x,y)/ N(x,y)]

Ahora podemos factorizar la variable “xⁿ”:

[dy/dx] = - [ (xⁿ) M(1,y/x) / (xⁿ) N(1,y/x)]

A continuación hacemos un cambio de variable

Cambio de variable à u = y/x à y = u (x) entonces y’ = u + x u’ de forma que dy/dx = u + x [du/dx]

u + x [du/dx] = - [M(1,u) / N(1,u)]

Despejando:

x[du/dx] = k(u) à Donde k es un factor sin la variable “u” dependiendo solo de “x” o constantes.

Entonces:

(1/ k [u] ) [du] = (1/x) [dx]

Una vez tengamos la integral de esta ecuación sustituimos “u = y/x” y se obtiene la solución general de la ecuación homogénea original “M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0” considerando a x como variable independiente.

Método 2:

Partiendo de la forma inicial de una ecuación homogénea tenemos:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Esta ecuación la podemos presentar de la siguiente forma:

[dx/dy] = - [N(x,y)/ M(x,y)]

Ahora podemos factorizar la variable “yⁿ”:

[dy/dx] = - [ (yⁿ) N(x/y,1) / (yⁿ) M(x/y,1)]

A continuación hacemos un cambio de variable

Cambio de variable à u = x/y à x = u y entonces x’ = u + y u’ de forma que dx/dy = u + y [du/dy]

u + y [du/dy] = - [M(u,1) / N(u,1)]

Despejando:

y[du/dy] = h(u) à Donde h es un factor sin la variable “u” dependiendo solo de “y” o constantes.

Entonces:

(1/ h [u] ) [du] = (1/x) [dx]

Una vez tengamos la integral de esta ecuación sustituimos “u = x/y” y se obtiene la solución general de la ecuación homogénea original “M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0” considerando a y como variable independiente.

Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Es una ecuación de la forma:

a₀ (x) y’ + a₁ (x) y = f(x) yⁿ à n≠0,1

Ya que si “n” es igual a 0 o 1 tenemos una ecuación diferencial lineal.

Utilizando solo un cambio de variable en la fórmula para resolver una ecuación no homogénea

Y = e^-ꭍp(x)dxꭍ e^ꭍp(x)dx f(x) dx + Ce^-ꭍp(x)dx

Obtenemos:

y^1-n= (1-n) e^{-(1-n) ꭍ p(x)dx}ꭍe^{(1-n) ꭍ p(x)dx}f(x)dx + Ce^{-(1-n) ꭍ p(x)dx}

Esta es la fórmula para resolver Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli de la forma:

y’ + p(x) y = f(x) yⁿ à Siendo p(x) = a₁ (x) / a₀ (x), f(x) = función de variable independiente “x”

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Partiendo de la forma estándar de una ecuación Exacta:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Obtenemos las derivadas parciales de los términos y comparamos, si son iguales es una ecuación exacta.

M_y = N_x

En caso de serlo podemos resolver de 2 formas:

1.- Integrando ambos términos, tomando en cuenta estas consideraciones:

a) Del primer término tomamos todo.

b) Del segundo término solo lo que dependa de “y”.

2.- Integrando ambos términos, tomando en cuenta estas consideraciones:

a) Del segundo término tomamos todo.

b) Del primer término solo lo que dependa de “x”.

En caso de no ser exacta calculamos su factor integrante de siguiente forma:

1.- Si “M(x,y)” tiene menos términos que “N(x,y)" usamos:

e^{ꭍ [ (Nx-My)/M ]dy}

2.- Si “N(x,y)” tiene menos términos que “M(x,y)" usamos:

e^{ꭍ [ (My-Nx)/N ]dx}

Una vez obtenido el factor integrante, éste multiplica toda la ecuación y se vuelve exacta.

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Las Dimensiones del Universo Según las Estrellas

Las Dimensiones del Universo Según las Estrellas Variables Cefeidas

El poeta John Keats escribió en cierta ocasión:

“Brillante estrella, ojalá yo fuera tan constante como tú”

Sin darse cuenta de que el brillo de algunas estrellas se acentúa y se atenúa en periodos que pueden ser de días o de semanas. Las estrellas variables de tipo cefeida presentan un periodo (el tiempo de un ciclo de brillo y oscuridad) proporcional a su luminosidad. Mediante una simple fórmula se puede utilizar esta luminosidad para calcular distancias interestelares. La astrónoma estadounidense Henrietta Leavitt descubrió la relación entre el periodo y la luminosidad de las estrellas variables cefeidas, con los que fue seguramente la primera persona que halló la forma de calcular la distancia de la Tierra a otras galaxias más allá de la Vía Láctea. En 1902, Leavitt se convirtió en miembro permanente del observatorio de Harvard y dedicó su tiempo a estudiar placas fotográficas de las estrellas variables de las Nubes de Magallanes. En 1904 descubrió, mediante el uso de un proceso laborioso denominado superposición, cientos de estrellas variables en las Nubes de Magallanes. Estos descubrimientos hicieron que Charles Yound, profesor en Princeton, escribiera:

“Qué amiga de las estrellas variables es la señorita Leavitt; es imposible seguir el ritmo de sus nuevos descubrimientos”.

El mayor descubrimiento de Leavitt tuvo lugar cuando calculó el periodo real de 25 estrellas variables cefeidas, y en 1912, refiriéndose a la célebre relación entre el periodo y luminosidad, escribió:

“Se puede trazar fácilmente una línea recta entre cada una de las dos series de puntos correspondientes a los máximos y los mínimos, con lo que se demuestra que existe una relación sencilla entre el brillo de estas estrellas variables y su periodo”.

Leavitt se dio cuenta, además, de que “dado que las estrellas variables están más o menos a la misma distancia de la Tierra, da la impresión de que sus periodos están relacionados con su emisión real de luz, determinada por su masa, su densidad y el brillo de la superficie”. Murió joven, por desgracia, víctima de un cáncer, antes de completar su trabajo. En 1925, el profesor Mittag-Leffer de la Academia sueca de las ciencias, que ignoraba que había fallecido, le envió una carta en la que expresaba su intención de proponerla para el premio nobel de la física. Pero como el premio Nobel nunca se concede de manera póstuma, Leavitt no pudo recibir ese honor.

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La hipótesis de Broglie

La hipótesis de Broglie

 

Muchos estudios acerca del mundo subatómico han demostrado que las partículas como los electrones y los fotones. No son como los objetos que nos relacionamos con nuestra vida cotidiana. Da la impresión de que estas entidades poseen características tanto de ondas como de partículas, en función del experimento o del fenómeno que se observa. Son bienvenidos al raro mundo de la física cuántica.

El físico francés Louis-Víctor de Broglie en 1924 sugirió que las partículas que formaban la materia también podían considerarse ondas, y por lo tanto también poseían propiedades que se asociaban seguidamente con las ondas, entre ellas una longitud de onda (La distancia entre dos crestas consecutivas de la onda). De hecho todos los cuerpos tienen una longitud de onda. En 1927, los físicos estadunidenses Clinton Davinsson y Lester Germer probaron la naturaleza ondulatoria de los electrones al demostrar que podrían sufrir difracciones e interferencias como la luz que es considerada como una onda.

La célebre hipótesis de De Broglie exponía que la longitud de onda de una onda material es inversamente proporcional al momento de la partícula (en términos generales, la velocidad multiplicada por la masa). Más concretamente λ= h/p Donde λ es la longitud de onda, p el momento y h es la constante de Planck. Según Joanne Baker, esta ecuación permite decir que “los objetos más grandes, tienen longitudes de onda minúsculas, demasiado pequeñas como para percibirlas a simple vista, de modo que no podemos observar el comportamiento ondulatorio. La longitud de onda de una bola de tenis que cruza la pista es de 10^-34 metros, mucho menor que el tamaño de un protón (10^-15 m). La logitud de onda de una hormiga es mayor que la de un ser humano.

Después del experimento de Davisson y Germer con electrones, la hipótesis de De Broglie ha sido confirmada para otras partículas como los neutrones, protones e incluso para moléculas enteras como las denominadas buckyesferas, moléculas de átomos de carbono con forma de pelotas de fútbol.

De Broglie había anunciado su hipótesis en su tesis doctoral, pero era tan radical que el tribunal, en un principio dudaba si concederle la aprobación. Años después gano el premio Novel por sus trabajos.

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Conservación de la energía relativista

E=mc²

Abert Einstein.

“Hay generaciones que han crecido sabiendo que la ecuación E=mc² cambió sustancialmente el mundo” David Bodanis. “Que rige todo, y es cierto, desde la bomba atómica hasta el rayo catódico de la televisión y la datación de las pinturas prehistóricas mediante carbono 14. Gran parte de lo llamativo de la ecuación recae en su independencia, dejando a un lado la complejidad de su significado”.

En un artículo publicado en 1905, Einstein deducía su ecuación E=mc² , conocida en ocasiones como ley de la equivalencia de masa y energía, de los principios de la Relatividad especial. La fórmula indica que la masa de un cuerpo es una medida de su contenido energético. “c” es la velocidad de la luz en el vacío, unos 300,000 kilómetros por segundo.

Los elementos radiactivos transforman constantemente parte de su masa en energía según su fórmula E=mc² , formula que también se utilizó en el desarrollo de la bomba atómica para comprender mejor la energía nuclear de enlace que mantiene los núcleos atómicos unidos y calcula la energía que se libera en una reacción nuclear.

E=mc² explica porque brilla el Sol. En el sol, cuatro núcleos de hidrógeno (protones) se fusionan en un núcleo de helio, que es menos masivo que los núcleos de hidrógeno que se unen para formarlo. La reacción de fusión convierte la masa perdida en la energía que permite que el Sol caliente la Tierra y dé lugar a la formación de vida. La masa, m, que se pierde en la fusión proporciona energía, E, según la fórmula E=mc² . Cada segundo, en el núcleo, las reacciones de fusión convierte 700 millones de toneladas de hidrógeno en helio, liberando enormes cantidades de energía.

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